微观截面 ($\sigma$) 与宏观截面 ($\Sigma$) 的关系

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微观截面 \(\sigma\)

  • 定义: 单个原子核与中子发生相互作用的等效“靶面积”（单位：\(cm^2\)）。
  • 物理意义: 中子通过该面积时才会与原子核发生碰撞，概率上等效为作用可能性。

宏观截面 \(\Sigma\)

  • 定义: \(\Sigma = N \cdot \sigma\)，其中：
    • \(N =\) 材料中单位体积的原子核数（\(cm^{-3}\)），
    • \(\sigma =\) 单个原子核的总微观截面（\(cm^2\)）。
  • 单位推导: \(\Sigma = [cm^{-3}] \cdot [cm^2] = cm^{-1}\)。
  • 物理意义: 单位长度（1 cm）内中子与材料中所有原子核发生碰撞的概率密度。

为什么单位是“长度的倒数”？

  • 概率密度的本质:
    • 若 \(\Sigma = 0.1 \, cm^{-1}\)，表示中子每移动1 cm，平均有10%的概率发生碰撞。
    • 单位距离的碰撞概率：直接由\(\Sigma\)的数值给出（\(\Sigma =\) 概率/cm）。
  • 与微观截面的联系:
    • 宏观截面是微观截面在单位体积内的“总和”，但通过单位体积（\(cm^{-3}\)）的归一化，最终转换为单位长度（\(cm^{-1}\)）的概率密度。

名称中保留“截面”一词的原因

  • 历史传承:
    • 核物理中，“截面”最初描述单个原子核的等效靶面积（\(\sigma\)）。
    • 当扩展到宏观材料时（\(\Sigma = N\sigma\)），名称沿用“截面”，强调其源于微观相互作用的本质。
  • 物理逻辑一致性:
    • 微观截面 \(\sigma\)：面积单位（\(cm^2\)），描述单个原子核的相互作用概率。
    • 宏观截面 \(\Sigma\)：概率密度单位（\(cm^{-1}\)），但名称保留“截面”以体现其物理根源。

碰撞概率的数学表达

  • 单位距离内的概率:
    • 移动距离\(L\)时的总碰撞概率为： \[ P = 1 - e^{-\Sigma L} \]
    • 当 \(\Sigma L \ll 1\) 时，可近似为： \[ P \approx \Sigma L \quad (\text{例如: } \Sigma = 0.1 \, cm^{-1}, L = 0.5 \, cm \Rightarrow P \approx 5\%) \]

5. 实际应用示例

  • 计算宏观截面：
    • 若材料密度 \(N = 10^{22} \, atoms/cm^3\)，单个原子核的微观截面 \(\sigma_t = 10^{-24} \, cm^2\)，则： \[ \Sigma_t = N \cdot \sigma_t = 10^{22} \times 10^{-24} = 0.01 \, cm^{-1} \]
    • 平均自由程 \(\lambda = \frac{1}{\Sigma_t} = \frac{1}{0.01} = 100 \, cm\)
  • 物理意义：
    • 中子需平均移动 100 cm 才会发生一次碰撞，每 1 cm 有 1% 的碰撞概率。

6. 中子输运方程中的体现

  • 未碰撞中子数的演化： \[ N(r + \Omega v \Delta t, \Omega, E, t + \Delta t) = N(r, \Omega, E, t) [1 - \Sigma_t v \Delta t] \]
    • 物理逻辑：未碰撞的中子从位置 \(r\) 移动到 \(r + \Omega v \Delta t\)，其数量因碰撞概率 \(\Sigma_t v \Delta t\) 而衰减。

总结

  • 宏观截面 \(\Sigma_t\) 是单位体积内原子核的等效总截面，单位为 \(cm^{-1}\)，直接对应单位距离内的碰撞概率密度。
  • 名称中的“截面”保留了微观物理（\(\sigma\) 的靶面积）的基因，尽管在宏观尺度下单位已转换为概率密度。