平均自由程与平均相对速度的完整推导

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1. 基本假设

为了推导平均自由程 \(\lambda\)，我们采用理想气体模型，并做以下假设：

  • 气体分子是刚性球体，直径为 \(d\)。
  • 分子之间的碰撞是完全弹性碰撞。
  • 气体分子均匀分布，且运动方向随机。
  • 只考虑两个分子之间的二体碰撞。

2. 碰撞截面

当一个气体分子与其他分子发生碰撞时，分子的有效碰撞范围可以看作一个圆柱体，其横截面面积称为碰撞截面 \(\sigma\)。对于直径为 \(d\) 的分子，碰撞截面为： \[ \sigma = \pi d^2 \]

3. 单位时间内碰撞次数（初步推导）

假设一个目标分子以速度 \(v\) 运动，则在单位时间内，该分子扫过的体积是一个圆柱体，其底面积为 \(\sigma\)，高为 \(v\)，因此扫过的体积为： \[ V_{\text{collision}} = \sigma v \]

如果气体分子数密度为 \(n\)（即单位体积内的分子数），那么单位时间内与目标分子发生碰撞的分子数为： \[ Z = n V_{\text{collision}} = n \sigma v \] 其中，\(Z\) 表示单位时间内的碰撞次数。

4. 平均自由程的定义

平均自由程 \(\lambda\) 定义为分子在两次连续碰撞之间移动的平均距离。根据定义，平均自由程等于分子的总路程除以碰撞次数。在单位时间内，分子的总路程为 \(v\)，而碰撞次数为 \(Z\)，因此： \[ \lambda = \frac{\text{总路程}}{\text{碰撞次数}} = \frac{v}{Z} \]

将 \(Z = n \sigma v\) 代入上式，得到： \[ \lambda = \frac{v}{n \sigma v} = \frac{1}{n \sigma} \]

进一步代入碰撞截面 \(\sigma = \pi d^2\)，最终得到： \[ \lambda = \frac{1}{n \pi d^2} \]

5. 考虑分子间的相对运动

上述推导假设目标分子静止，而其他分子以速度 \(v\) 运动。实际上，所有分子都在运动，因此需要考虑分子之间的相对速度。

5.1 平均相对速度的推导

假设两个分子的速度分别为 \(\vec{v}_A\) 和 \(\vec{v}_B\)，它们的相对速度为： \[ \vec{v}_{rel} = \vec{v}_A - \vec{v}_B \]

我们需要计算的是这些相对速度的大小 \(v_{rel} = |\vec{v}_{rel}|\) 的平均值 \(\langle v_{rel} \rangle\)。

由于分子的速度遵循麦克斯韦-玻尔兹曼分布，且每个方向上的速度分量独立同分布，可以通过统计力学的方法得出： \[ \langle v_{rel} \rangle = \sqrt{\langle (\vec{v}_A - \vec{v}_B)^2 \rangle} \]

展开后，利用 \(\langle \vec{v}_A \cdot \vec{v}_B \rangle = 0\)（因为不同分子的速度不相关）以及 \(\langle v_A^2 \rangle = \langle v_B^2 \rangle = \frac{3kT}{m}\) （麦克斯韦分布的结果），可得： \[ \langle v_{rel} \rangle = \sqrt{2 \langle v \rangle^2} = \sqrt{2} \langle v \rangle \]

其中，单个分子的平均速度 \(\langle v \rangle\) 为： \[ \langle v \rangle = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}} \]

因此，平均相对速度为： \[ \langle v_{rel} \rangle = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}} \]

5.2 修正后的碰撞频率

由于分子间的相对速度为 \(\sqrt{2} \langle v \rangle\)，碰撞频率 \(Z\) 应修正为： \[ Z = n \sigma \langle v_{rel} \rangle = n \sigma \sqrt{2} \langle v \rangle \]

将 \(\langle v \rangle = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}\) 代入，得到： \[ Z = n \sigma \sqrt{2} \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}} \]

6. 最终平均自由程公式

根据平均自由程的定义 \(\lambda = \frac{v}{Z}\)，并用相对速度代替单个分子的速度，得到修正后的平均自由程： \[ \lambda = \frac{\langle v \rangle}{Z} = \frac{\langle v \rangle}{n \sigma \sqrt{2} \langle v \rangle} = \frac{1}{\sqrt{2} n \sigma} \]

代入碰撞截面 \(\sigma = \pi d^2\)，最终得到： \[ \lambda = \frac{1}{\sqrt{2} n \pi d^2} \]

总结

通过以上推导，我们得到了考虑分子间相对运动后的平均自由程公式： \[ \lambda = \frac{1}{\sqrt{2} n \pi d^2} \] 其中：

  • \(n\) 是气体分子数密度；
  • \(d\) 是分子的有效直径；
  • \(\pi d^2\) 是碰撞截面；
  • \(\sqrt{2}\) 来源于分子间的平均相对速度。

这个公式表明，平均自由程与气体分子数密度成反比，与分子直径的平方成反比。