布丰投针（Buffon’s Needle）是一种通过概率实验估算圆周率 $\pi$ 的方法。这种方法基于几何概率模型，属于蒙特卡罗方法的一种应用。

title: “布丰投针计算圆周率的原理” description: keywords: “布丰投针计算圆周率的原理” date: 2025-04-07T21:45:04+08:00 lastmod: 2025-04-07T21:45:04+08:00 categories:

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相交条件

针与线相交的条件是：针的一个端点到底边界的垂直距离小于等于 $(l/2)\sin(\theta)$。换句话说，如果针的中点到最近线的距离满足以下关系，则针会与至少一条线相交：

$$ x \leq \frac{l}{2} \sin(\theta) $$

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圆周率估算

通过大量实验，记下针与线相交的次数 $N_{\text{hit}}$ 和总的投针次数 $N_{\text{total}}$。根据大数定律，可以用频率估计概率：

$$ P \approx \frac{N_{\text{hit}}}{N_{\text{total}}} $$

结合概率公式 $P = \frac{2l}{\pi d}$，我们可以解出 $\pi$ 的近似值：

$$ \pi \approx \frac{2l N_{\text{total}}}{d N_{\text{hit}}} $$