平均自由程与平均相对速度的完整推导

发表于： 2025-03-30

1. 基本假设

为了推导平均自由程 $\lambda$，我们采用理想气体模型，并做以下假设：

气体分子是刚性球体，直径为 $d$。
分子之间的碰撞是完全弹性碰撞。
气体分子均匀分布，且运动方向随机。
只考虑两个分子之间的二体碰撞。

title: “平均自由程与平均相对速度的完整推导” description: keywords: “平均自由程与平均相对速度的完整推导” date: 2025-03-30T13:32:43+08:00 lastmod: 2025-03-30T13:32:43+08:00 categories:

科研笔记

3. 单位时间内碰撞次数（初步推导）

假设一个目标分子以速度 $v$ 运动，则在单位时间内，该分子扫过的体积是一个圆柱体，其底面积为 $\sigma$，高为 $v$，因此扫过的体积为： $$ V_{\text{collision}} = \sigma v $$

如果气体分子数密度为 $n$（即单位体积内的分子数），那么单位时间内与目标分子发生碰撞的分子数为： $$ Z = n V_{\text{collision}} = n \sigma v $$ 其中，$Z$ 表示单位时间内的碰撞次数。

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5. 考虑分子间的相对运动

上述推导假设目标分子静止，而其他分子以速度 $v$ 运动。实际上，所有分子都在运动，因此需要考虑分子之间的相对速度。

5.1 平均相对速度的推导

假设两个分子的速度分别为 $\vec{v}_A$ 和 $\vec{v}B$，它们的相对速度为： $$ \vec{v}{rel} = \vec{v}_A - \vec{v}_B $$

我们需要计算的是这些相对速度的大小 $v_{rel} = |\vec{v}{rel}|$ 的平均值 $\langle v{rel} \rangle$。

由于分子的速度遵循麦克斯韦-玻尔兹曼分布，且每个方向上的速度分量独立同分布，可以通过统计力学的方法得出： $$ \langle v_{rel} \rangle = \sqrt{\langle (\vec{v}_A - \vec{v}_B)^2 \rangle} $$

展开后，利用 $\langle \vec{v}_A \cdot \vec{v}B \rangle = 0$（因为不同分子的速度不相关）以及 $\langle v_A^2 \rangle = \langle v_B^2 \rangle = \frac{3kT}{m}$ （麦克斯韦分布的结果），可得： $$ \langle v{rel} \rangle = \sqrt{2 \langle v \rangle^2} = \sqrt{2} \langle v \rangle $$

其中，单个分子的平均速度 $\langle v \rangle$ 为： $$ \langle v \rangle = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}} $$

因此，平均相对速度为： $$ \langle v_{rel} \rangle = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}} $$

5.2 修正后的碰撞频率

由于分子间的相对速度为 $\sqrt{2} \langle v \rangle$，碰撞频率 $Z$ 应修正为： $$ Z = n \sigma \langle v_{rel} \rangle = n \sigma \sqrt{2} \langle v \rangle $$

将 $\langle v \rangle = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}$ 代入，得到： $$ Z = n \sigma \sqrt{2} \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}} $$

科研笔记

总结

通过以上推导，我们得到了考虑分子间相对运动后的平均自由程公式： $$ \lambda = \frac{1}{\sqrt{2} n \pi d^2} $$ 其中：

$n$ 是气体分子数密度；
$d$ 是分子的有效直径；
$\pi d^2$ 是碰撞截面；
$\sqrt{2}$ 来源于分子间的平均相对速度。

这个公式表明，平均自由程与气体分子数密度成反比，与分子直径的平方成反比。